Binärsystem

Im Binärsystem stellen wir Zahlen mit nur zwei Ziffern dar. An Stelle der zehn Ziffern ( bis ) des Dezimalsystems stehen uns nur zwei Ziffern ( und ) zur Verfügung. Wenn wir also im Binärsystem zählen, dann benötigen wir bereits für die Zahl drei Stellen:

Binär	Dezimal

Aufgabe «binär zählen»

Erkennst du das Muster in der Liste? Kannst du diese weiterführen?

Schreibweise

Um Missverständnisse zu vermeiden, schreiben wir – wenn nicht eindeutig klar ist, in welchem System wir uns bewegen – bei Binärzahlen die Basis 2, und bei Dezimalzahlen die Basis 10 hin:

Stellenwert

Im Dezimalsystem nimmt der Wert der Stelle von rechts nach links immer um den Faktor 10 zu. So ist zehn mal mehr als .

Beispiel:
Die Zahl besteht aus 2 Tausendern, keinem Hunderter, 3 Zehnern und 7 Einern:

Wir können den Wert der Stelle auch als 10er-Potenz schreiben:

Zehn ist die Basis des Dezimalsystems.

Das Binärsystem hat die Basis 2. Der Wert der Stelle nimmt demnach immer um den Faktor 2 zu. Wir können also die Werte der Stellen als Zweierpotenz schreiben. Für die Binäre Zahl sieht das also so aus:

besteht also aus einem Achter, einem Vierer, keinem Zweier und einem Einer.

Aufgabe «Stellwert»

1. Wie viele verschiedene Dezimal-Zahlen lassen sich mit 4 Stellen darstellen?
2. Wie viele verschiedene Binärzahlen lassen sich mit 8 Stellen darstellen?

Binärzahlen in Dezimalzahlen umrechnen

Wir addieren die Stellen mit ihren Werten, also der Zweierpotenz.

Wie gross ist ? Man muss das nicht auswändig können – wir können ja das nächste Element der Zweierpotenzreihe ganz einfach aufs vorherige zurückführen: .

Die Reihe beginnt mit dem Spezialfall . Dann kommt , , usw…
Die ersten Elemente lauten also:

Aufgabe «Arbeitsblatt Teil A»

Löse die Aufgabe A des Arbeitsblattes.

interaktives Umrechnungstool

11111 = 16+8+4+2+1 =31

Dezimalzahlen in Binärzahlen umrechnen

Variante A – «nach Rezept»

Um eine Dezimalzahl ins Binärsystem umzurechnen, wird die Zahl wiederholt ganzzahlig durch 2 dividiert. Dabei wird jeweils der Rest festgehalten.

Beispiel
Hier wird die Umrechnung am Beispiel gezeigt:

Das Ergebnis erhält man, indem die Reste in umgekehrter Reihenfolge aufgeschrieben werden:

Zur Sicherheit kontrollieren wir das Ergebnis:

Erläuterung
Der Rest der ganzzahligen Division durch 2 ist genau dann 0, wenn die Zahl durch 2 dividierbar ist. (Dann geht die Division nämlich auf, es bleibt kein Rest.)

Wenn wir also eine gerade Zahl durch 2 dividieren, kommt immer der Rest 0 raus. Alle geraden Zahlen enden mit dem Bit , haben also die binäre Darstellung:

Bei einer ungeraden Zahl bleibt der Rest 1 – also haben ungerade Zahlen die binäre Darstellung:

Diese Erkenntnis machen wir uns im Verfahren zunutze. Durch wiederholte Anwendung auf das Ergebnis der vorherigen Division, erhalten wir von links nach rechts alle Bits der binären Darstellung.

Variante B – «mit Hirn»

Dieses Verfahren ist für kleinere Zahlen wohl schneller – man sollte aber die Zweierpotenzreihe kennen.

Wir gehen wie folgt vor:

1. Nächstkleinere Zweierpotenz finden
2. Diese von der Zahl abziehen, eine 1 notieren
3. Kann die nächstkleinere Zweierpotenz abgezogen werden?
   • ja: abziehen und 1 notieren
   • nein: eine 0 notieren
4. Ab Schritt 3 wiederholen bis kleinste Zweierpotenz erreicht ist

Beispiel

Dezimalzahl	Überlegung	Binärzahl
	nächstkleinere Zweierpotenz ist 16
	8 kommt nicht vor
	4 kommt nicht vor
	2 kommt vor
	1 kommt vor

Wir wissen jetzt, welche Zweierpotenzen vorkommen. Für diese notieren wir eine , für die anderen eine . Wir erhalten:

Aufgabe «Arbeitsblatt»

Löse die Aufgaben B und C des Aufgabenblattes.

Zusatzaufgabe «Arbeitsblatt»

Löse die Aufgabe D des Aufgabenblattes.

mit Binärzahlen rechnen

Teilweise kann man die Umrechnung sparen. Der Computer rechnet nur Binär – und so funktioniert z.B. die schriftliche Addition genau gleich

Addition

Wenn Zeit reicht: zur überprüfung die beiden Zahlen und das Resultat ins Dezimalsystem umwandeln und das Resultat überprüfen

mit zwei multiplizieren

Eine Binärzahl kann sehr einfach mit 2 mutlipliziert werden. Der Computer macht dies mit einem sogenannten shift left. D.h. es werden alle Bits eine Stelle nach links geschoben – wir hängen einfach rechts eine 0 an. Genauso können wir ja auch im Dezimalsystem eine Zahl einfach mit 10 multiplizieren:

Zusstzaufgabe «Multiplizieren»

Was gibt

durch zwei dividieren

Analog zur Multiplikation mit 2 kann der Computer durch ein shift right durch zwei dividieren. Allerdings handelt es sich natürlich um eine Ganzahldivision – es gibt kein «Komma fünf»:

ist eine Zahl gerade/ungerade

Ob eine Zahl gerade oder ungerade ist, lässt sich in der Binärdarstellung am kleinsten Bit ablesen. Dieses trägt – wenn gesetzt – den Wert , also bei. Die restlichen Summanden sind alles gerade Zahlen, da immer gerade ist für .

Binär Zählen mit der Hand

Aufgabe

Wie weit kann man mit beiden Händen zählen?