Binärsystem #

Im Binärsystem stellen wir Zahlen mit nur zwei Ziffern dar. An Stelle der zehn Ziffern (0 bis 9) des Dezimalsystems stehen uns nur zwei Ziffern (0 und 1) zur Verfügung. Wenn wir also im Binärsystem zählen, dann benötigen wir bereits für die Zahl 2 drei Stellen:

Schreibweise #

Um Missverständnisse zu vermeiden, schreiben wir – wenn nicht eindeutig klar ist, in welchem System wir uns bewegen – bei Binärzahlen die Basis ₂ und bei Dezimalzahlen die Basis ₁₀ hin:

Stellenwert #

Im Dezimalsystem nimmt der Wert der Stelle von rechts nach links immer um den Faktor 10 zu. So ist 90 zehn mal mehr als 9.

Beispiel:
Die Zahl 2037₁₀ besteht aus 2 Tausendern, keinem Hunderter, 3 Zehnern und 7 Einern:

Wir können den Wert der Stelle auch als 10er-Potenz schreiben:

Zehn ist die Basis des Dezimalsystems.

Das Binärsystem hat die Basis 2. Der Wert der Stelle nimmt demnach immer um den Faktor 2 zu. Wir können also die Werte der Stellen als Zweierpotenz schreiben. Für die Binäre Zahl 1101₂ sieht das also so aus:

1101₂ besteht also aus einem Achter, einem Vierer, keinem Zweier und einem Einer.

Binärzahlen in Dezimalzahlen umrechnen #

Wir addieren die Stellen mit ihren Werten, also der Zweierpotenz.

Wie gross ist 2¹⁰? Man muss das nicht auswendig können – wir können ja das nächste Element der Zweierpotenzreihe ganz einfach aufs vorherige zurückführen: 2ⁿ = 2 × 2^n-1.

Die Reihe beginnt mit dem Spezialfall 2⁰ = 1. Dann kommt 2¹ = 2, 2² = 4, usw…
Die ersten Elemente lauten also:

Dezimalzahlen in Binärzahlen umrechnen #

Variante A – «nach Rezept» #

Um eine Dezimalzahl ins Binärsystem umzurechnen, wird die Zahl wiederholt ganzzahlig durch 2 dividiert. Dabei wird jeweils der Rest festgehalten.

Beispiel
Hier wird die Umrechnung am Beispiel 19 gezeigt:

Das Ergebnis erhält man, indem die Reste in umgekehrter Reihenfolge aufgeschrieben werden:

Zur Sicherheit kontrollieren wir das Ergebnis:

Erläuterung
Der Rest der ganzzahligen Division durch 2 ist genau dann 0, wenn die Zahl durch 2 dividierbar ist. (Dann geht die Division nämlich auf, es bleibt kein Rest.)

Wenn wir also eine gerade Zahl durch 2 dividieren, kommt immer der Rest 0 raus. Alle geraden Zahlen enden mit dem Bit 0, haben also die binäre Darstellung:

Bei einer ungeraden Zahl bleibt der Rest 1 – also haben ungerade Zahlen die binäre Darstellung:

Diese Erkenntnis machen wir uns im Verfahren zunutze. Durch wiederholte Anwendung auf das Ergebnis der vorherigen Division, erhalten wir von links nach rechts alle Bits der binären Darstellung.

Variante B – «mit Hirn» #

Dieses Verfahren ist für kleinere Zahlen wohl schneller – man sollte aber die Zweierpotenzreihe kennen.

Wir gehen wie folgt vor:

1. Nächstkleinere Zweierpotenz finden
2. Diese von der Zahl abziehen, eine 1 notieren
3. Kann die nächstkleinere Zweierpotenz abgezogen werden?
   • ja: abziehen und 1 notieren
   • nein: eine 0 notieren
4. Ab Schritt 3 wiederholen bis kleinste Zweierpotenz erreicht ist

Beispiel

Wir wissen jetzt, welche Zweierpotenzen vorkommen. Für diese notieren wir eine 1, für die anderen eine 0. Wir erhalten:

mit Binärzahlen rechnen #

Teilweise kann man die Umrechnung sparen. Der Computer rechnet nur Binär – und so funktioniert z.B. die schriftliche Addition genau gleich

Addition #

Schriftliche Addition binär mit Überträgen:

Wenn Zeit reicht: zur Überprüfung die beiden Zahlen und das Resultat ins Dezimalsystem umwandeln und das Resultat überprüfen

mit Zwei multiplizieren #

Eine Binärzahl kann sehr einfach mit 2 mutlipliziert werden. Der Computer macht dies mit einem sogenannten shift left. D.h. es werden alle Bits eine Stelle nach links geschoben – wir hängen einfach rechts eine 0 an. Genauso können wir ja auch im Dezimalsystem eine Zahl einfach mit 10 multiplizieren:

durch Zwei dividieren #

Analog zur Multiplikation mit 2 kann der Computer durch ein shift right durch zwei dividieren. Allerdings handelt es sich natürlich um eine Ganzahldivision – es gibt kein «Komma fünf»:

ist eine Zahl gerade/ungerade #

Ob eine Zahl gerade oder ungerade ist, lässt sich in der Binärdarstellung am kleinsten Bit ablesen. Dieses trägt – wenn gesetzt – den Wert 2⁰, also 1. Die restlichen Summanden sind alles gerade Zahlen, da 2ⁱ immer gerade ist für i > 0.

Binär Zählen mit der Hand #