Binärsystem

Im Binärsystem stellen wir Zahlen mit nur zwei Ziffern dar. An Stelle der zehn Ziffern (0 bis 9) des Dezimalsystems stehen uns nur zwei Ziffern (0 und 1) zur Verfügung. Wenn wir also im Binärsystem zählen, dann benötigen wir bereits für die Zahl 2 zwei Stellen:

Binär	Dezimal
0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	10
1011	11

Aufgabe: binär Zählen

Erkennst du das Muster in der Liste? Kannst du diese weiterführen?

Schreibweise

Um Missverständnisse zu vermeiden, schreiben wir – wenn nicht eindeutig klar ist, in welchem System wir uns bewegen – bei Binärzahlen die Basis ₂ und bei Dezimalzahlen die Basis ₁₀ hin:

1011₂ = 11₁₀

Stellenwert

Im Dezimalsystem nimmt der Wert der Stelle von rechts nach links immer um den Faktor 10 zu. So ist 90 zehn mal mehr als 9.

Beispiel:
Die Zahl 2037₁₀ besteht aus 2 Tausendern, keinem Hunderter, 3 Zehnern und 7 Einern:

2037 = 2 × 1000 + 0 × 100 + 3 × 10 + 7 × 1

Wir können den Wert der Stelle auch als 10er-Potenz schreiben:

2037 = 2 × 10³ + 0 × 10² + 3 × 10¹ + 7 × 10⁰

Zehn ist die Basis des Dezimalsystems.

Das Binärsystem hat die Basis 2. Der Wert der Stelle nimmt demnach immer um den Faktor 2 zu. Wir können also die Werte der Stellen als Zweierpotenz schreiben. Für die Binäre Zahl 1101₂ sieht das also so aus:

1101₂ = 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ × 1 × 2⁰ = 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1

1101₂ besteht also aus einem Achter, einem Vierer, keinem Zweier und einem Einer.

Aufgabe: Stellwert

1. Wie viele verschiedene Dezimal-Zahlen lassen sich mit 4 Stellen darstellen?
2. Wie viele verschiedene Binärzahlen lassen sich mit 8 Stellen darstellen?

Binärzahlen in Dezimalzahlen umrechnen

Wir addieren die Stellen mit ihren Werten, also der Zweierpotenz.

1101₂ = 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀

Wie gross ist 2¹⁰? Man muss das nicht auswendig können – wir können ja das nächste Element der Zweierpotenzreihe ganz einfach aufs vorherige zurückführen: 2ⁿ = 2 × 2^n-1.

Die Reihe beginnt mit dem Spezialfall 2⁰ = 1. Dann kommt 2¹ = 2, 2² = 4, usw…
Die ersten Elemente lauten also:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, …

Tipp: interaktives Umrechnungstool

11111 =

16+8+4+2+1

= 31

Aufgabe: Binär zu Dezimal

Mit dem folgenden Tool kannst du die Umrechnung trainieren:

• gib die Lösung als Dezimalzahl ein (dort wo das Fragezeichen steht)
• mit jedem richtigen Resultat holst du einen Punkt
• Wenn du genügend Punkte hast, kommst du in den nächsten Level

Wie weit kommst du?

1101

=

Punkte 0 (Level 1)

Lösung

Da die Aufgaben zufällig gestellt werden, gibt es keine Lösung. Dafür eine kleine Hilfestellung: Du siehst hier zusätzlich die Stellenwerte der gesetzten Bits:

0111

=

 +4+2+1

=

Punkte 0 (Level 1)

Dezimalzahlen in Binärzahlen umrechnen

Variante A – «nach Rezept»

Um eine Dezimalzahl ins Binärsystem umzurechnen, wird die Zahl wiederholt ganzzahlig durch 2 dividiert. Dabei wird jeweils der Rest festgehalten.

Beispiel
Hier wird die Umrechnung am Beispiel 19 gezeigt:

19 ÷ 2	=	9	Rest 1
9 ÷ 2	=	4	Rest 1
4 ÷ 2	=	2	Rest 0
2 ÷ 2	=	1	Rest 0
1 ÷ 2	=	0	Rest 1

Das Ergebnis erhält man, indem die Reste in umgekehrter Reihenfolge aufgeschrieben werden:

10011

Zur Sicherheit kontrollieren wir das Ergebnis:

10011₂ = 16 + 2 + 1 = 19₁₀

Erläuterung
Der Rest der ganzzahligen Division durch 2 ist genau dann 0, wenn die Zahl durch 2 dividierbar ist. (Dann geht die Division nämlich auf, es bleibt kein Rest.)

Wenn wir also eine gerade Zahl durch 2 dividieren, kommt immer der Rest 0 raus. Alle geraden Zahlen enden mit dem Bit 0, haben also die binäre Darstellung:

…0

Bei einer ungeraden Zahl bleibt der Rest 1 – also haben ungerade Zahlen die binäre Darstellung:

…1

Diese Erkenntnis machen wir uns im Verfahren zunutze. Durch wiederholte Anwendung auf das Ergebnis der vorherigen Division, erhalten wir von links nach rechts alle Bits der binären Darstellung.

Variante B – «mit Hirn»

Dieses Verfahren ist für kleinere Zahlen wohl schneller – man sollte aber die Zweierpotenzreihe kennen.

Wir gehen wie folgt vor:

1. Nächstkleinere Zweierpotenz finden
2. Diese von der Zahl abziehen, eine 1 notieren
3. Kann die nächstkleinere Zweierpotenz abgezogen werden?
   • ja: abziehen und 1 notieren
   • nein: eine 0 notieren
4. Ab Schritt 3 wiederholen bis kleinste Zweierpotenz erreicht ist

Beispiel

Dezimalzahl	Überlegung	Binärzahl
19	nächstkleinere Zweierpotenz ist 16	1
19-16=3	8 kommt nicht vor	0
3	4 kommt nicht vor	0
3	2 kommt vor	1
3-2=1	1 kommt vor	1

Wir wissen jetzt, welche Zweierpotenzen vorkommen. Für diese notieren wir eine 1, für die anderen eine 0. Wir erhalten:

10011₂

Aufgabe: Dezimal zu Binär

Mit dem folgenden Tool kannst du die Umrechnung trainieren:

• gib die Lösung als Binärzahl ein (dort wo das Fragezeichen steht)
• mit jedem richtigen Resultat holst du einen Punkt
• Wenn du genügend Punkte hast, kommst du in den nächsten Level

Wie weit kommst du?

=

Punkte 0 (Level 1)

Lösung

Da die Aufgaben zufällig gestellt werden, gibt es keine Lösung. Dafür eine kleine Hilfestellung: Du kannst hier die einzelnen Bits mit eine Klick setzen.

=

 + + + 

=

Punkte 0 (Level 1)

mit Binärzahlen rechnen

Teilweise kann man die Umrechnung sparen. Der Computer rechnet nur Binär – und so funktioniert z.B. die schriftliche Addition genau gleich

Addition

Schriftliche Addition binär mit Überträgen:

$$\frac{\genfrac{}{}{0ex}{}{{\displaystyle \mathtt{\text{ 1001}}}}{{\displaystyle \underset{\mathtt{\text{1}}}{\mathtt{\text{+}}}\mathtt{\text{1}}\mathtt{\text{1}}\underset{\mathtt{\text{1}}}{\mathtt{\text{0}}}\mathtt{\text{1}}}}}{\mathtt{\text{10110}}}$$

Nochmals mit Komentaren:

		1	0	0	1		Zahl 1
+		1	0	0	1		Zahl 2
	1			1			Überträge
	1	0	1	1	0		Ergebnis

Wenn Zeit reicht: zur Überprüfung die beiden Zahlen und das Resultat ins Dezimalsystem umwandeln und das Resultat überprüfen

Aufgabe: Binäre Addition

Addiere die beiden obenstehenden Zahlen und schreibe das Resultat als Binäre Zahl ins Lösungs-Kästchen. Die Notation findet von Rechts nach Links statt!

Für jedes richtige Ergebnis gibt es einen Punkt. Pro fünf Punkte kommst du einen Level weiter. Wie weit kommst du?

+

=

Punkte 0 (Level 1)

mit Zwei multiplizieren

Eine Binärzahl kann sehr einfach mit 2 mutlipliziert werden. Der Computer macht dies mit einem sogenannten shift left. D.h. es werden alle Bits eine Stelle nach links geschoben – wir hängen einfach rechts eine 0 an. Genauso können wir ja auch im Dezimalsystem eine Zahl einfach mit 10 multiplizieren:

1001₂ = 1 × 2³ + 1 × 2⁰ = 8 + 1 = 9₁₀

10010₂ = 1 × 2⁴ + 1 × 2¹ = 16 + 2 = 18₁₀

Zusatzaufgabe: Multiplizieren

Was gibt 1001₂ × 9₁₀

durch Zwei dividieren

Analog zur Multiplikation mit 2 kann der Computer durch ein shift right durch zwei dividieren. Allerdings handelt es sich natürlich um eine Ganzahldivision – es gibt kein «Komma fünf»:

1001₂ = 1 × 2³ + 1 × 2⁰ = 8 + 1 = 9₁₀

100₂ = 1 × 2² = 4₁₀

ist eine Zahl gerade/ungerade

Ob eine Zahl gerade oder ungerade ist, lässt sich in der Binärdarstellung am kleinsten Bit ablesen. Dieses trägt – wenn gesetzt – den Wert 2⁰, also 1. Die restlichen Summanden sind alles gerade Zahlen, da 2ⁱ immer gerade ist für i > 0.

Binär Zählen mit der Hand

Aufgabe

Wie weit kann man mit beiden Händen zählen?